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最新小学数学趣题巧算百题百讲百练3

时间:2021-10-14 10:34:35 浏览次数:
导读: 小学数学趣题巧算百题百讲百练--几何部分本篇为几何部分。       小学生学习几何初步知识,不仅要

小学数学趣题巧算百题百讲百练--几何部分 本篇为几何部分。         小学生学习几何初步知识,不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征,还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积,而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。特别是计算一些组合图形的面积时,常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法,使得计算巧妙、简便。要学会这些方法,应用这些方法。通过解几何题的训练,更好地培养空间想象力,这对学好小学几何初步知识是极有利的,同时也为将来到中学进一步学习几何知识,打下良好而坚实的基础。

  例21 下图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。已知圆O的周长是9.42厘米,那么长方形OABC的周长是多少厘米?
分析与解 题中告诉我们,圆O的面积和长方形OABC的面积相等。我们知道,圆的面积等于π·r·r,而图中圆O的半径恰好是长方形的宽,因此长方形OABC的长正好是π·r,即圆O的周长的一半。而长方形的周长等于2个长与2个宽的和,也就是圆O的周长与直径的和。

  长方形OABC的周长是:
  9.42+9.42÷3.14
=9.42+3
=12.42(厘米)
  答:长方形OABC的周长是12.42厘米。

  例22 桌面上有一条长80厘米的线段,另外有直径为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圆形纸片若干张,现在用这些纸片将桌上线段盖住,并且使所用纸片圆周长总和最短,问这个周长总和是多少厘米?
分析与解 要想盖住桌上线段,并且使所用纸片圆周长总和最短,那么盖住线段的圆形纸片应该是互不重叠,一个挨一个地排开,这时若干个圆形纸片直径的总和正好是80厘米。这些圆形纸片周长的总和与直径为80厘米的圆的周长相等,因此盖住桌子上线段的若干个圆形纸片的周长总和是:
  3.14×80=251.2(厘米)
  答:这个周长总和是251.2厘米。

  例23 图2为三个同心圆形的跑道,跑道宽1米。某人沿每条圆形跑道的中间(虚线所示)各跑了1圈,共3圈。他一共跑了多少米?
分析与解 根据题意,要求某人一共跑了多少米,就是求半径分别为1.5米、2.5米和3.5米的三个圆的周长之和。列式为
3.14×(1.5×2)+3.14×(2.5×2)+3.14×(3.5×2)
  =3.14×3+3.14×5+3.14×7
=3.14×(3+5+7)
  =3.14×15
=47.1(米)
  还可以这样思考:
  如果这个人拿着一个1米宽的拖把,边跑边拖地,他跑了1个圆圈,就把这一圈的跑道全拖干净。那么他跑了3个圆圈,就把这三条圆形跑道全拖干净了。他共拖了3个环形面积的地。这3个环形面积的总和是
3.14×(42-32)+3.14×(32-22)+3.14×(22-12)
  =3.14×(42-32+32-22+22-12)
  =3.14×(42-12)
  =3.14-[(4+1)×(4-1)]
=3.14×15
=47.1(平方米)
  当然,也可以直接列式:3.14×(42-12)=47.1(平方米)
  因为跑道宽1米,这个人拖完47.1平方米,那么他就前进了47.1米。

  答:一共跑了47.1米。

  这里列举的只是某人跑了3个圆形跑道。如果将题改为跑100个这样的圆形跑道,那么用后面介绍的解法计算他跑步的总长度,就简捷多了。

  解法如下:
  3.14×(1012-12)
  =3.14×(101+1)×(101-1)
  =3.14×102×100
=32028(平方米)
  因为跑道宽1米,所以共跑了32028米。

  例24 在面积是40平方厘米的正方形中,有一个最大的圆(如图3)。这个圆的面积是多少平方厘米?
分析与解 要求圆的面积,就要先求出圆的半径。题中告诉我们,正方形的面积是40平方厘米,正方形的边长的一半,也就是图中圆的半径。对小学生来讲,从正方形的面积求正方形的边长,还不会直接计算。

  可以这样思考:
  把正方形平均分成4份(如图4)。每个小正方形的面积是40÷4=10平方厘米。小正方形的边长恰好是圆的半径,因此圆的半径的平方恰好是10平方厘米。这样就可以求出圆的面积是3.14×10=31.4平方厘米了。


答:图中圆面积是31.4平方厘米。

  例25 图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。正方形的边长是247.8厘米;
长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米,正方形和长方形哪个面积大?
分析与解 要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小,方法是分别算出它们的面积再进行比较。从题中给出的数据看,确实给计算带来麻烦。

  只要在AF两点间连一条线段(如图6),就会发现,三角形 AFD的面积是正方形 ABCD面积的一半,同时也是长方形EFDG面积的一半,所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。这样,也就不用计算这两个图形的面积了。

  例26 图7由半圆和等腰直角三角形重叠而成。已知等腰直角三角形的直角边长为4厘米,求图中阴影面积。


分析与解 如果分别算出两个阴影部分的面积,再把它们加起来,以便求出图中阴影部分的总面积,那就太复杂了。

  根据题中的条件,我们可以把图中弓形阴影剪下来拼(或旋转)成图8。

  从图8不难看出,题中要求的阴影部分的面积就是三角形 ABC面积的一半。

  图中的阴影面积是:
  (4×4÷2)÷2=4(平方厘米)
  答:图中阴影面积是4平方厘米。

  例27 有5个正方形(如图9),边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问图中白色部分面积与阴影部分面积的比是几比几?
分析与解 观察已知图形,显然,先计算出白色面积比较简单。

  白色部分面积是:(22-12)+(42-32)=10(平方米)
  阴影部分面积是:52-10=15(平方米)
  因此,白色部分面积与阴影部分面积之比是:10∶15,即2∶3。

  还可以这样想:作正方形的对角线AD和BC,两条对角线相交于O,于是两条对角线把正方形平均分成四部分(如图10)。

  要计算整个图形中白色部分面积与阴影部分面积的比,只需计算三角形AOB中白色部分面积与阴影部分面积的比就可以了。在三角形AOB中,可把白色的和阴影的两部分图形都看作是一些梯形,其中把最上端的小阴影三角形看作是上底为O的梯形。这些梯形的高都相等,所以这些梯形面积之比就是这些梯形上、下底的和之比。

  从小到大,5个梯形面积比是:
  1∶(1+2)∶(2+3)
  ∶(3+4)∶(4+5)=1∶3∶5∶7∶9
因此,图中白色部分面积与阴影部分面积的比是:(3+7)∶(1+5+9)=2∶3
答:图中白色部分面积与阴影部分面积比是2∶3。

  例28 有一个直角梯形ABCD,已知AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米,那么ED长多少厘米?
分析与解 连接DB(图12)。已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米,所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。

 
三角形BDE的面积是:24-17.4=6.6(平方厘米)。而三角形 BDE的面积等于ED×BC×1/2
即ED×6×1/2=6.6
所以ED长是2.2厘米。

  答:ED的长是2.2厘米。

  例29 图13由4个正六边形拼成,每个正六边形的面积都是6,那么三角形ABC的面积是多少?
分析与解 首先连接每个正六边形的对角线,将每个六边形平均分成六个小的正三角形(如图14),那么每一个小三角形的面积都是1。

  由图14不难看出:三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA组成的,其中三角形DEF的面积是4,而其它的三个三角形面积都相等。

  先看三角形ABE。它正好是平行四边形AGBE的一半,而平行四边形AGBE的面积是6,因此,三角形ABE的面积是3。当然,三角形BDC和三角形CFA的面积也是3。

  由此得出三角形ABC的面积是
4+3×3=13
答:三角形ABC的面积是13。

  例30 已知图15中正方形ABCD的面积是256平方厘米,那么正方形EFGH的面积是多少平方厘米?
分析与解 将图15中正方形A0′B′C′D′旋转成图16。由图中不难看出:正方形 A′ B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的1/2;
正方形EFGH的面积是正方形A′B′C′D′的面积的1/2。因此,正方形

已知正方形ABCD的面积是256平方厘米,所以正方形EFGH的面积是
答:正方形EFGH的面积是64平方厘米。

  例31 图17是一个正方形地板砖示意图,在大正方形ABCD中,AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2,中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米,四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米,那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米?

分析与解 连AC和BD两条大正方形的对角线,它们相交于O,然后将三角形AOB放在DPC处(如图18和图19)。

 
已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米,所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

  又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米,所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米,即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米,那么这个正方形的边长就是6厘米。由此得出,正方形OCPD的边长是4+6=10厘米,当然正方形OCPD的面积就是102,即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半,因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。

  答:正方形ABCD的面积是200平方厘米。

  例32 一个任意凸六边形ABCDEF,P、Q、M、N分别为AB、BC、DE和EF边上的中点。已知阴影部分的面积是100平方厘米,那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米?
分析与解 连接BF、 BE、 BD,在三角形ABF中,P是AB的中点,那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面积相等。

  同理,由于N为EF中点,所以三角形FNB和三角形 ENB的面积相等;
由于M为DE中点,所以三角形DMB和三角形EMB的面积相等;
由于Q为BC中点,所以三角形BQD和三角形CQD的面积相等。

  由此得出:三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。

  而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=阴影面积=100平方厘米,所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面积=100平方厘米。

  因此,六边形 ABCDEF的面积为100×2=200平方厘米。

  答:六边形ABCDEF的面积是200平方厘米。

  例33 图21是一个圆形钟面,圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是6厘米,那么图中阴影的面积是多少平方厘米?
分析与解 题中告诉我们:圆周被平均分成了12等份,因此连接OE,  
由图中不难看出:三角形AOB与三角形EOB是等底同高的三角形,这两 
的面积相等。


于是图中阴影的面积是:
  
答:阴影的面积是18.84平方厘米。例34图 23中四边形ABCD是一个正方形。E、F分别为CD和BC边上的中点。已知正方形ABCD的边长是30厘米,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
分析与解 已知四边形ABCD为正方形,E、F分别为CD边与BC边上的中点,因此,三角形BCE和三角形DCF面积相等。这两个三角形的面积各自减去四边形GFCE的面积,各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面积还是相等的。

  连接GC(如图24),三角形GBF面积和三角形GCF的面积是相等的,因为这两个三角形等底同高。同理,三角形GCE面积和三角形GDE的面积也是相等的。而三角形GBF的面积和三角形GDE的面积相等,因此,三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面积的四个三角形。


因为三角形BCE的面积等于正方形ABCD面积的1/4,所以图中空白部分的面积,即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面积之和为正方形ABCD面积的
从而得出图中阴影部分的面积为正方形ABCD面积的
那么阴影部分的面积是:

答:图中阴影部分的面积是600平方厘米。

  例35 为了美化校园,东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。小圆形花坛的面积是3.14平方米,大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米?
分析与解 我们知道圆的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们,大圆的半径是小圆半径的2倍,那么大圆面积是小圆面积的22倍。

  大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大
3.14×(22-1)
  =3.14×3
=9.42(平方米)
  答:大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。

  例36 有两个长方形,甲长方形的长是98769厘米,宽是98765厘米;
乙长方形的长是98768厘米,宽是98766厘米。这两个长方形的面积哪个大?
分析与解 利用长方形面积公式,直接计算出面积的大小,再进行比较,这是可行的,但是计算太复杂了。

  可以利用乘法分配律,将算式变形,再去比较两个长方形的面积大小,这就简便多了。

  甲长方形的面积是:
  98769×98765
=98768×98765+98765
乙长方形的面积是
98768×98766
=98768×98765+98768
比较98768×98765+98765与98768×98765+98768的大小,一眼便能看出:甲长方形的面积小,乙长方形的面积大。

  还有如下一种思考解答方法。

  请先看看下面的事实。

  周长相等的两个长方形,长与宽的差越大,则面积就越小;
反之,长与宽之差越小,则面积就越大。当然,当长方形长与宽之差为0时,也就是为正方形时,面积则最大。

  假设有两个长方形的周长是20厘米,那么周长的一半,也就是长与宽的和,是10厘米,列举出一部分长、宽的大小与面积的关系,就会得出上面所讲的事实是存在的,并且是正确的。


我们再回到原题。甲、乙两个长方形的长与宽的和是相等的(当然它们的周长也相等),即
98769+98765=98768+98766
而甲长方形长与宽的差是:
  98769-98765=4(厘米)
  乙长方形长与宽的差是:
  98768-98766=2(厘米)
  因为4厘米>2厘米,所以甲长方形的面积小,乙长方形的面积大。

  答:乙长方形的面积大。

  例37 一个红色的正方形ABCD,它的边长是1993厘米;
另一个红色的正方形A′B′C′D′,它的边长是 1994厘米。一个绿色正方形EFGH,它的边长是1992厘米,另一个绿色正方形E′F′G′H′,它的边长是1995厘米。问两个红色的正方形的面积大,还是两个绿色的正方形面积大?
分析与解 要比较两个红色的正方形面积大,还是两个绿色的正方形面积大,可以先分别算出它们的面积,然后再进行比较。不过这样计算起来就太复杂了。

  可以这样比较它们的大小:
  先将红色正方形ABCD与绿色正方形EFGH重叠在一起(如图26)。


从图26不难看出,红色正方形ABCD的面积比绿色正方形EFGH的面积大的平方厘米数是:
  1×1992+1×1+1×1992=2×1992+1
再将红色正方形A′B′C′D′与绿色正方形E′F′G′H′重叠在一起(如图27)。


从图27不难看出,红色正方形A′B′C′D′的面积比绿色正方形E′F′G′H′的面积小的平方厘米数是:
  1×1994+1×1+1×1994
=2×1994+1
而2×1994+1>2×1992+1,也就是说绿色正方形E′F′G′H′比红色正方形A′B′C′D′大的面积数超过红色正方形ABCD比绿色正方形EFGH大的面积数。因此两个绿色正方形的面积大。

  答:两个绿色正方形的面积大。

  例38 在长方形ABCD中,AE的长度与ED的长度的比是8∶5;
BF的长度与FC的长度的比是11∶7。那么涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较,哪个大?  
分析与解 要比较涂红色的两块图形的面积大,还是涂蓝色的两块图形的面积大,只要比较三角形AEC和三角形BDF的大小就可以了。因为这两个三角形各自减去重叠的那块四边形,剩下的就是两个涂红色的图形和两个涂蓝色的图形了。

  因为ABCD是长方形,而三角形AEC和三角形BDF的高都是长方形ABCD的宽,所以比较三角形AEC和三角形BDF的大小时,只要比较AE和BF的大小就可以了。

  根据已知,AE的长度与ED的长度的比是8∶5,那么AE的长度就占  
即AE>BF,从而得出三角形AEC的面积大于三角形BDF的面积。

  因此,涂红色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。

  答:涂红色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。

  例39 一块长方形小麦田,被互相垂直的两条直线分成A、B、C、D四部分。A的地积是45公亩,B的地积是20公亩,C的地积是36公亩。那么,D有多少公亩?
分析与解 观察图29不难发现,B与C的长是相等的,因此,B与C地积的比就是它们宽的比。A与D的长也是相等的,因此,A与D地积的比也是它们宽的比。而A与B,C与D的宽分别相等,于是
A∶D=B∶C
即 45∶D=20∶36

D=81
答:D有81公亩。

  例40 有50个表面涂有红漆的正方体,它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米,将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体,得到的小正方体中,至少有一个面是红色的小正方体共有多少个?
分析与解 棱长为1厘米涂有红漆的小正方体,不用锯,就是棱长1厘米的小正方体,它当然是至少有一个面是红色的小正方体了。

  将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体,锯成棱长为1厘米的小正方体,共得到33个,其中没有涂红漆的共(3-2)3个。

  将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体,共得53个,其中没有涂红漆的共(5-2)3个。

  将棱长为7厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体,共得73个,其中没有涂红漆的共(7-2)3个。

  由以上分析、计算发现,将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后,得到至少有一个面为红色的小正方体共有
13+33-(3-2)3+53-(5-2)3+73-(7-2)3
=13+33-13+53-33+73-53
=13+33+53+73-13-33-53=73=343(个)
  按照这样的规律可得,将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后,得到至少有一个面为红色的小正方体共有:
  13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299(个)
  答:至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。

  例41 有棱长为 1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方体102个,把它们的表面都涂上红漆,晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体,在这些小正方体中,只有2个面有红漆的共有多少个?
分析与解 根据题意,首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体,都在原来大正方体的棱上。原来棱长是1厘米、2厘米的正方体,将它截成1立方厘米的小正方体后,得不到只有2个面有红漆的小正方体。棱长是3厘米的正方体,将它截成1立方厘米的小正方体后,大正方体的每条棱上都有1个小正方体只有2个面有红漆。每个正方体有12条棱,因此可得到 12个只有 2个面有红漆的小正方体,即共有(3-2)×12个。

  棱长为4厘米的正方体,将它截成1立方厘米的小正方体后,得到只有 2个面有红漆的小正方体共(4-2)×12个。

  依此类推,可得出,将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后,共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是:
  [(3-2)+(4-2)+(5-2)+……+(102-2)]×12
=[1+2+3+……+100]×12

=60600
答:只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。

  例42 有一个长方体木块,长125厘米,宽40厘米,高25厘米。把它锯成若干个体积相等的小正方体,然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正体的表面积是多少平方厘米?
分析与解 一般说来,要求正方体的表面积,一定要知道正方体的棱长。题中已知长方体的长、宽、高,同正方体的棱长又没有直接联系,这样就给解答带来了困难。我们应该从整体出发去思考这个问题。

  按题意,这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后,又拼成一个大正方体。这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高,就可以求出长方体的体积,这就是拼成的大正方体的体积。进而可以求出正方体的棱长,从而可以求出正方体的表面积了。

  长方体的体积是
125×40×25=125000(立方厘米)
  将 125000分解质因数:
  125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5
=(2×5×5)×(2×5×5)×(2×5×5)
  可见大正方体的棱长是
2×5×5=50(厘米)
  大正方体的表面积是
50×50×6=15000(平方厘米)
  答:这个大正方体的表面积是15000平方厘米。

  例43 一个正方体形状的木块,棱长2分米。沿水平方向将它锯成3片,每片又锯成4条,每条又锯成5小块,共得到大大小小的长方体60块(如图30)。这60块长方体表面积的和是多少平方分米?
分析与解 解答这道题的最直接的想法是将这大大小小的60个长方体形状的小木块的表面积分别计算出来,然后再求出总和,这样做是可以的,但计算极为复杂。因此解答这题时,应从整体出发,这样,问题就简单多了。

  这个正方体形木块在未锯成60个长方体形状的小木块前,共有6个面,每个面的面积是2×2=4平方分米,6个面共24平方分米。不管后来锯成多少块小长方体,这6个面的24平方分米的面积总是后来的小长方体的表面积的一部分。

  现在我们来考虑将木块每锯一刀的情况。显然,每锯一刀就会增加2个4平方分米的表面积,根据题意,现在一共锯了2+3+4=9刀,共增加了18个4平方分米的表面积。

  因此,这60块大大小小的长方体的表面积总和是
24+4×18=96(平方分米)
  或列式为
2×2×[6+(2+3+4)×2]
=4×[6+18]
=4×24
=96(平方分米)
  答:60块长方体表面积的和是96平方分米。

  例44 一个圆柱体,底面半径是5厘米,这个圆柱体的侧面积是100平方厘米。它的体积是多少立方厘米?
分析与解 一般的解法是先求出圆柱体的高和底面积,再求圆柱体的体积。

  圆柱体的高:
  
圆柱体的底面积:
  3.14×52=78.5(平方厘米)
  圆柱体的体积:
   
我们已知学过,用切拼的方法,可以把一个圆柱体切拼成一个与它等体积的近似的长方体(如图31)
  观察图31不难发现,圆柱体的体
积等于侧面积的一半与底面半径的乘积,即
用这个式子计算题中圆柱体的体积,就比用一般的方法计算要简便多了。

  
答:圆柱体的体积是250立方厘米。

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