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三年级下册数学试题-春季培优:第3讲,智巧趣题(解析版)全国通用

时间:2021-10-14 10:50:29 浏览次数:
导读: 第三讲智巧趣题知识要点:智巧问题是有趣的一类问题,它有时可能并不需要你复杂的计算,而是通过我们的灵感

第三讲 智巧趣题 知识要点:
智巧问题是有趣的一类问题,它有时可能并不需要你复杂的计算,而是通过我们的灵感、技巧和巧妙的构思来解决问题。这就要求我们要细心,善于观察,综合考虑各种情况,并要充分利用学到的知识来解决问题。

一、基础应用:
【例1】 下图中,两只母鸡正在盘算着,要使每行、每列、每斜行中的鸡蛋不超过2 个。他们最多能在这蛋格子里下多少个蛋?蛋格子中已经下好了2 个蛋。

【解析】最多8 个。如上右图为一种下法。

【例2】 有一根粗心不均匀的绳子,如果从一端把它点燃,这根绳子能燃烧2 个小时。但由于绳子粗细不均匀,所以不能确定它燃烧到绳子中点需要多长时间。但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间,应该怎么做? 【解析】同时点燃绳子的两端,1小时后这根绳子刚好烧完。

【例3】 妈妈拿来5 盒完全一样的小球,并对小雨说:“这5 盒小球看上去是一样的, 每盒都是5 只,可是其中有一盒是次品,它里面的小球每只都轻一克,你能不能只用秤称一次,把次品的那一盒找出来。小雨想了半天也找不到方法。小朋友动动你的脑筋,帮帮小雨,好吗? 【解析】 从5 盒小球中各取1只、2 只、3 只、4 只和5 只放在一起称,看他们的重量比标准重量轻多少克。如果轻1克,那么拿出一只小球的那盒是次品,如果轻2 克,那么拿出2 只小球的那盒是次品,……,依次类推,就能找到答案了。

【例4】 一个卖酒的老板要招聘两名伙计,它给前来面试的人两个瓶子,一个是 5 升的瓶子,一个是 7 升的瓶子,还有一大缸酒,要求他们盛出 4 升的酒。这下难倒了很多前来应聘的人。小朋友你会吗?(注:瓶子不带刻度)
【解析】可以。将 7 升的瓶子装满,然后往 5 升的空瓶子里面装。5 升的瓶子满了, 将其清空,把 7 升瓶子里面余下的酒再倒入 5 升的瓶子,再将 7 升的瓶子装满,依次重复前面的操作。如下为一种倒法:(注:倒法不唯一)
原来 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 5 升 0 0 5 0 2 2 5 7 升 0 7 2 2 0 7 4 发现操作到第六次时,7 升的瓶子里刚好盛的是 4 升的酒。

再继续倒下去,你会发现,其实不仅仅是可以倒出 4 升的酒,1~7 升的酒都能盛的出来。

第7 次 第 8 次 第9 次 第10 次 第11 次 第12 次 第13 次 第14 次 第15 次 第16 次 5 升 0 4 4 5 0 5 0 1 1 5 7 升 4 0 7 6 6 1 1 0 7 3 二、拓展训练:
【例5】 售货员把31个乒乓球分装在5 个盒子里,使得只要顾客所买的乒乓球个数小于32 ,他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出,而不必拆盒。问这5 个盒子里分别装着多少个乒乓球? 【解析】要表示出 1,至少要有 1 盒装着 1 个乒乓球;
要表示出 2,可以有一盒装着 2 个乒乓球,这两盒最多只能表示到 3;
要表示出 4,此时应有一盒装着 4 个乒乓球,现在这三盒最多可以表示到 7;
要表示出 8,应有一盒装着 8 个乒乓球,现在这四盒最多可以表示到 15;
要表示 16,则应有一盒装着 16 个乒乓球,这时 1~31 中的数用 1,2,4,8,16 这 5 个数中的一个或若干个数的和均能表示的出来。故这 5 个盒子里分别装着 1 个,2 个,4 个,8 个,16 个乒乓球。

【例6】 开学了,老师有一叠本子正好是90 本。要求小红把这些本子分成6 份,要1份比1份多2 本。小红把64 本本子分来分去,怎么也分不好。小朋友,你说应该怎么分?每一份各是几本? 【解析】六个数构成一个等差数列,公差为2 。中间相邻的两个数的和为 90 ¸(6 ¸ 2)= 30 大数:(30 + 2)¸ 2 = 16 (本), 小数:
30 -16 = 14 (本), 6 份应该是这样分的:10 本、12 本、14 本、16 本、18 本、20 本。

【例7】 9 只青蛙围在一口圆形的水井边,沿顺时针方向编上号码1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 。然后按顺时针方向,每隔一只蛙跳下水一只,例如:如果第一只跳下 水的是1号,那么后面依次跳下水的为3 号、5 号、……,直到最后剩下一只 蛙为止。如果最后剩下的是9 号蛙,那么第一只跳下水的蛙是几号? 【解析】假设第一只跳下水的蛙是1号,则往后依次跳下水中的青蛙是 3 , 5 , 7 , 9 , 4 , 8 , 6 , 2 ,最后剩下了2 号蛙。由此可知,最后剩下的青蛙是最开始与 第一只跳水的青蛙紧挨着沿顺时针方向的那只,如果最后剩下的是9 号蛙,则第一只跳下水的蛙应该是8 号。

【例8】 有一颗棋子放在下图中的1号位置上,现按顺时针方向,第一次跳一步,跳到2 号位置;
第二次跳两步,跳到4 号位置;
第三次跳三步,跳到到7 号位置……, 这样一直进行下去。棋子永远跳不到的位置是几号? 【解析】第一次在2 号,第二次在4 号,第三次在7 号,第四次在4 号,第五次在2 号, 第六次在1号,第七次在1号,第八次在2 号,第九次在4 号,出现周期,即从第八次开始跳到的位置又是重复前面的第一次至第六次的位置。故永远跳不到的位置 是3 号、5 号和6 号。

【例9】 有100 个棋子,两人轮流取棋子,每次允许取其中的 1 个或 2 个,谁最后把棋子取完就算获胜。如果你先取,那么第一次你取多少个,才能保证获胜? 【解析】100 ¸(1 + 2)= 33LL1,先取1个,使棋子变为99 个,然后采取如下策略:若对手取2 个,则取1个;
若对手取1个,则取2 个。则每次都能使棋子变为3 的倍数。于是后者永远面对3 的倍数,只能将其变为一个不是3 的倍数的数,则后者无法使棋子变为0 ,先者胜。

【例10】 有分别装7 根和10 根的两盒火柴,甲、乙两人轮流在某一盒中任取,但不能同时在两盒中都取,也不能不取。规定取到最后火柴者为胜。问甲先取时是否有必胜的策略? 【解析】甲要取胜,必须使两盒火柴相等。甲先从装有10 根火柴的盒中取走10 - 7 = 3 (根),使两盒火柴数相等。然后,乙从某一盒中取走多少根,甲就从另一盒中取走同样的根数,这样,乙始终面临两盒数量相等的火柴,甲必取到最后火柴,故甲必胜。

三、难题解析:
【例11】 甲、乙两人在玩一种纸牌游戏。纸牌上的点数为1, 2 , 3 ,……,10 ,每种点数各有4 张,开始时,两人各有20 张牌,每一轮两人各出1张牌,要求两张 牌的差等于5 ,经过若干轮后,乙还剩2 张牌,牌上的点数分别为4 和a ;
甲也还剩2 张牌,牌上的点数分别为7 和b 。此时,两人无法再按要求出牌,则a - b 的值为多少? 【解析】10 个点数中差为5 的两个点数有如下5 种:
(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10)。

而10 ´ 4 = 40(张)牌刚好可以凑出40 ¸ 2 = 20(组),前面的18 组都凑出来了,最后 剩下的4 张也是能组成2 组点数差为5 的数组。而甲和乙在玩时出现最后各剩两张不能 凑成点数差为5 ,这说明点数差为5 的两张牌刚好握在自己手里,即4 和9 握在乙手里, 7 和2 握在甲手里。故 a = 9 , b = 2 ,从而 a - b = 7 。

【例12】 一天,红太狼和灰太狼同时从“野猪林”出发,到“天堂镇”。红太狼一半路程溜达,一半路程奔跑,灰太狼一半时间溜达,一半时间奔跑。如果它们溜达的速度相同,奔跑的速度也相同,则先到“天堂镇”的是红太狼还是灰太狼呢? 【解析】奔跑的速度大于溜达的速度。红太狼一半路程溜达,一半路程奔跑;
而灰太狼一半时间溜达,一半时间奔跑,则灰太狼一小半路程是溜达,一多半路程是奔跑的, 所以先到的是灰太狼。可画下图帮助我们理解:
溜达 奔跑 红太 灰太 四、巩固练习:
1. 妈妈给小明一个红色大盒子,里面装着6 个蓝色盒子,每个蓝色盒子里又装着4 个绿色盒子。请问小明总共有多少个盒子? 【解析】 绿色盒子有6 ´ 4 = 24(个),蓝色盒子有6 个,红色盒子有1个,故小明共有盒子24 + 6 + 1 = 31(个)。

2. 数学兴趣小组活动时,老师出了这样一道题:“有2 箱鸭蛋,4 箱鸡蛋,放在一起。

6 箱装的个数各是44 个,48 个,50 个,52 个,57 个和64 个。只知道鸡蛋的个数 是鸭蛋个数的2 倍,你知道哪两箱装的是鸭蛋吗?”老师刚说完,聪明的王宁, 眼睛一眨就说出了答案。小朋友,你说说王宁是怎么想的? 【解析】鸭蛋有 (44 + 48 + 50 + 52 + 57 + 64) ¸ (2 + 1) = 105 (个), 而只有48 + 57 = 105 ,所以装鸭蛋的两箱分别是48 个和57 个。

3. 饮水桶里原来已经放了一些水,以后再往饮水桶里加水,都是前一次桶里的两倍, 加了3 次后,饮水桶里的水正好是81千克,那么原来饮水桶里有水多少千克? 【解析】每加一次水,都变成原来的3 倍,还原回去,原有水81 ¸ 3 ¸ 3 ¸ 3 = 3(千克)。

4. 请用4 升和9 升的杯子倒出6 升的水?(注:杯子不带刻度)
【解析】如下为一种倒法:(注:倒法不唯一)
原来 第一 次 第二 次 第三 次 第四 次 第五 次 第六 次 第七 次 第八 次 4 升 0 0 4 0 4 0 1 1 4 9 升 0 9 5 5 1 1 0 9 6 5. 甲、乙、丙选手参加长跑比赛,起跑后甲处在第一位置,在整个比赛过程中,甲与乙、丙的位置次序交换了 7 次,那么比赛结果甲是第几名? 【解析】我们可通过画如下的示意图来帮助理解:
…… …… 通过观察,我们发现甲交换奇数次都排在中间的位置,即第二名,甲交换偶数次, 则要么排在头,要么排在尾。而 7 是奇数,即甲交换奇数次,故甲排在第二名。

6. 甲、乙两人轮流从 82 粒棋子中取走 1 粒或 2 粒或 3 粒,取到最后一粒的就是胜利者,你认为先取者能获胜,还是后取者能获胜,应采取什么策略? 【解析】因为82 ¸(3 + 1)= 20LL2 。故先取者先拿2 个,这样就会必胜。必胜的策略是:之后无论对方拿几粒,只要使自己拿的粒数与对方拿的粒数之和正好等于4 。这样先取者就能取到最后一粒。

7. 公路的一边等距离的排列着一些电线杆,小明沿着公路骑车,他从第一根电线杆到第10 根电线杆用了3 分钟。按照此速度,再过3 分钟小明可以骑到第几根电线杆? 【解析】小明3 分钟骑了10 -1 = 9 (个)间隔,则再过3 分钟,小明又骑了9 个间隔, 即前后六分钟一共骑了9 ´ 2 = 18(个)间隔,此时小明骑到第1 + 18 = 19(根)电线杆。

8. 小刚把从1开始的自然数排成如下图,其中第一行只有一个数,接下来的每一行都比上一行多一个数。101出现在这个图中的第几行第几个? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 【解析】由于1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91 ,而 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105 ,而91 < 101 < 105 ,故101在第 14 行,而101 - 91 = 10 ,则101在第14 行的第10 个。

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